Grup discret

În matematică un grup topologic^⁠(d) precum G este numit grup discret dacă nu există un punct de acumulare în el (adică, pentru fiecare element din G, există o vecinătate care conține doar acel element). În mod echivalent, grupul G este discret dacă și numai dacă elementul său neutru este izolat.^[1]

Un subgrup H al unui grup topologic G este un subgrup discret dacă H este discret atunci când este dotat cu o topologie de subspațiu din G. Cu alte cuvinte, există o vecinătate a identității în G care nu conține niciun alt element din H. De exemplu, numerele întregi, Z, formează un subgrup discret al numerelor reale, R (cu topologie metrică), dar numerele raționale, Q, nu.

Orice grup poate fi dotat cu topologie discretă^⁠(d), făcându-l un grup topologic discret. Deoarece fiecare aplicație dintr-un spațiu discret este continuă, omomorfismele topologice dintre grupurile discrete sunt exact omomorfismele de grup dintre grupurile subiacente. Prin urmare, există un izomorfism între categoriile de grup și categoria de grupuri discrete. Prin urmare, grupurile discrete pot fi identificate cu grupurile lor subiacente (netopologice).

Există unele cazuri în care un grup topologic^⁠(d) sau un grup Lie este înzestrat util cu topologia discretă, „împotriva naturii”. Acest lucru se întâmplă, de exemplu, în teoria compactificării Bohr^⁠(d) și în coomologiei de grup^⁠(d) din teoria grupurilor Lie.

Un grup de izometrie discret este un grup de izometrie astfel încât pentru fiecare punct al spațiului metric mulțimea imaginilor punctului sub izometrii este o mulțime discretă. Un grup de simetrie discret este un grup de simetrie care este un grup de izometrie discret.